dentro la mostra

La mostra matetrentino - percorsi matematici a Trento e dintorni invita "a fare esperienza" di matematica attraverso il suo percorso guidato che si snoda tra i numeri e le geometrie dei paesaggi e delle architetture che ci circondano.

Già all'ingresso del museo il contenuto della mostra si preannuncia tramite un'illusione prospettica generata da un fondale scenografico che prolunga la sequenza spaziale dell'androne di palazzo Sardagna, la prestigiosa sede del museo, quasi a proporre una visione sconfinata.

Modelli di impronte disegnano sul selciato sette diversi tipi di andature: possiamo calpestarle e seguirne la traccia per riprodurre alcune serie di motivi decorativi simmetrici - ci accorgeremo così che tutti i fregi si possono ricondurre unicamente a sette diverse tipologie di simmetria.

Nel cortile, poi, un grande cubo presenta una apertura entro la quale possiamo sbirciare ed accorgerci che la forma di questo solido non corrisponde a quella che osserviamo guardandolo dall'esterno: si tratta di un effetto dovuto alla visualizzazione prospettica.

La mostra è articolata in quattro aree tematiche distribuite nei tre piani del museo: topologia e massimi e minimi che troviamo nelle sale del piano terra, visualizzazione e simmetria esposte al secondo piano, alle quali si affianca lo spazio di approfondimento con numerose postazioni di computers e - al primo piano - la sezione dedicata alla prima infanzia nel regno di matelandia.

Topologia

Spesso si fa risalire l'origine della topologia ad un celebre problema, quello dei ponti di Königsberg: in mostra sono presenti alcune versioni trentine di questo problema. In percorso senza ritorni alcune cartine del territorio locale indicano degli itinerari: si tratta di provare se e come sia possibile percorrerli senza mai staccare la matita dal foglio di carta, senza passare due volte su un tratto già percorso, e capire perché alcune volte questo è possibile e altre no.

In percorsi senza incroci un plastico che riproduce un paesaggio montano ci propone un altro classico problema, noto come "problema delle tre case": è possibile collegare tre rifugi in quota con tre alberghi a valle servendosi di piste da sci che non si intersecano? Il problema non ha soluzione se non con l'utilizzo di un ponte. Alcuni modelli tridimensionali mostrano poi come l'aver utilizzato il ponte corrisponda ad aver risolto il problema non più sul piano, ma sulla superficie di una ciambella (un Toro) e come lo stesso problema sia risolvibile anche su un nastro di Möbius, che per questa mostra è stato appositamente realizzato in vetro dai mastri vetrai di Murano.

La seconda parte della sezione topologia è dedicata ai nodi.

Facendo un nodo con una corda e unendone i due capi, il nodo "viene fissato" in modo da non poterlo più sciogliere, a meno di non aver fatto un finto nodo che, manipolato, può essere portato ad assumere la forma di una circonferenza. Una questione nodale ci invita a confrontare alcuni modelli di nodi, appesi lungo il percorso, con alcuni disegni riprodotti sui pannelli e a comporne altri, artistici e non, che si incontrano in Trentino: dallo stemma della nobile famiglia dei Lodron alle colonnine annodate del Duomo.

Se si congiungono i capi della coda del leone che appare nello stemma dei Lodron, si ottiene quello che i matematici chiamano un "nodo a otto". Tuttavia, non sempre in questo stemma la coda del leone è stata rappresentata allo stesso modo: talvolta alcuni passaggi sopra/sotto che servono a ricostruire il nodo partendo da un suo diagramma sono stati invertiti. Ad un primo sguardo, questi nodi hanno comunque lo stesso aspetto, la stessa "ombra", ma in realtà risultano essere dei nodi completamente diversi.

Un modellino delle colonne del Duomo di Trento, ci permette di riflettere sulla molteplicità di nodi che si possono formare partendo da uno stesso intreccio.

Quanto è annodato un nodo illustra il numero di incroci di un nodo. Proviamo a "fabbricare" un nodo con le corde a disposizione, partendo da un'assegnata proiezione piana apparentemente complicata, maneggiandolo constateremo che lo stesso nodo può assumere una forma più semplice.

Due nodi allo specchio evidenziano come i nodi possano essere a volte uguali alla propria immagine speculare e a volte diversi.

Massimi e Minimi

Perché anticamente la pianta di Trento, come quella di molte città, presentava una forma circolare? Una possibile interpretazione di questo fatto può ricercarsi nella cosiddetta proprietà isoperimetrica del cerchio: fra tutte le figure piane aventi perimetro dato, il cerchio è quella che racchiude l'area maggiore o, in modo equivalente, tra tutte le figure piane aventi un'area assegnata è quella che ha il perimetro minore. La forma circolare di una cinta muraria rende minima la parte esposta a possibili aggressioni esterne, offrendo allo stesso tempo il maggior spazio per lo sviluppo urbano.

La forma arrotondata, quasi circolare delle mura delle città è riscontrabile anche in altre piante urbane, come ad esempio nella pianta di Arco illustrata in cerchi nel tempo.

La proprietà isoperimetrica viene messa in evidenza dall'esperienza mura del castello che propone di inserire all'interno di un nastro flessibile (che rappresenta la cinta muraria) il maggior numero di palline colorate. Riempiendo di palline le mura difensive, si osserva che esse tendono ad assumere una forma circolare.

Se invece di considerare tutte le figure piane, ci si limita a considerare soltanto i rettangoli, qual è il massimo per un rettangolo? In mostra la soluzione del problema "area massima a perimetro costante" si può trovare con l'ausilio di alcune corde (chiuse) di lunghezza definita che si possono tendere sulle maglie di una scacchiera.

Utilizzando poi delle tessere a forma di triangolo equilatero si prova a risolvere la versione "simmetrica" dello stesso problema: tra tutte le figure che hanno una determinata area, qual è quella di perimetro minore? Se ci fosse assoluta libertà nella costruzione, la soluzione sarebbe il cerchio, ma le forme costruibili accostando un certo numero di tessere non possono essere circolari. Tuttavia le soluzioni sembrano rispondere ad un ipotetico "principio della maggior circolarità possibile" (Arrotondando…).

Se alle figure piane si sostituiscono oggetti tridimensionali, ci si può chiedere quale sia la figura che a parità di volume ha la minore superficie esterna, o anche quale sia la figura che a parità di area esterna racchiude il maggior volume. Se ad esempio si accostano tra loro (faccia contro faccia) otto cubi della stessa grandezza, si ottengono figure dello stesso volume. Quale ha l'area minima? Provando ad accostare ad incastro alcuni cubi si possono ricostruire i modelli tridimensionali raffigurati nel poster costruzioni. A sottolineare l'importanza che in questo contesto assumono cerchi e sfere si può ammirare la scultura G (nove cerchi) di Fausto Melotti.

Più oltre sono esposti i problemi di rete: dati alcuni punti nel piano, quali sono le reti di lunghezza minima che li collegano? Da un punto di vista astratto possiamo descrivere una rete con un insieme di linee, che si incrociano in vari modi collegando tra loro dei punti. Dato un certo numero di punti, può essere interessante trovare una rete che li congiunge e che sia la più breve possibile.

Se i punti fissati sono due, un segmento di retta risolve il problema. E se i punti sono 3 oppure 4? È chiaro che per costruire una rete di lunghezza minima conviene utilizzare dei tratti rettilinei. Talvolta è vantaggioso far incontrare i segmenti in punti diversi da quelli assegnati. Già quando i punti assegnati sono i vertici di un triangolo equilatero o di un quadrato, la soluzione non è affatto immediata. Su un tavolo vengono proposte alcune reti da misurare e confrontare cercando la migliore.

Proseguendo incontriamo la gigantesca elicoide in legno e acciaio, alta 3 metri, realizzata dallo scultore Michele Ciribifera, esemplare soluzione di un "problema di minimo". L'elicoide si ottiene facendo ruotare una semiretta attorno ad un asse perpendicolare lungo il quale viene contemporaneamente fatta scorrere, come i gradini di una scala a chiocciola.

Chiude questa sezione una grande installazione realizzata dall'Istituto Statale d'Arte "A. Vittoria" di Trento, curva precipitosa, con la quale si può sperimentare una notevole proprietà di minimo della cicloide, ossia quella di essere la curva lungo la quale un grave scende impiegando il tempo minore. La cicloide si può ottenere come traiettoria di un punto fissato su una circonferenza che rotola, senza strisciare, lungo una retta. L'esperienza proposta in mostra consente di far partire simultaneamente due palline lungo una retta e lungo un arco di cicloide con gli stessi estremi. Si possono così confrontare sperimentalmente i tempi di percorrenza corrispondenti alle due curve e rendersi conto di quanto tempo si risparmi scendendo lungo la cicloide.

Visualizzazione

È possibile, data soltanto una rappresentazione piana e in mancanza di altre informazioni, ricostruire con sicurezza l'ambiente tridimensionale corrispondente? Quali difficoltà sorgono quando ci si propone di ricostruire un oggetto reale a partire da una sua immagine? La sezione visualizzazione, che per prima s'incontra al secondo piano del museo, è dedicata a rispondere a queste domande e a mostrare con vari esperimenti come la sola visione non sia sufficiente per ricostruire gli oggetti di partenza.

Si inizia con esperienze prevalentemente visive che, da particolari punti di vista, fanno emergere illusioni profonde, così come il dio dei mari sembra emergere dai flutti che lo nascondono, quando ci avviciniamo dal giusto lato alla scultura anamorfica Poseidone, di Stella e Gianni Miglietta.

Perfino il sommo Dante sembra stagliarsi contro il cielo, nel profilo di una montagna osservato dalla giusta angolazione (Ed eran due in uno e uno in due…). Ognuno di noi ha certamente già sperimentato la distorsione subita dall'immagine di un oggetto riflessa da specchi non piani, esperienza che qui viene "ribaltata": davanti a uno specchio semisferico sono ora gli oggetti ad essere distorti e senza senso, ma si ricompongono in una scena coerente nell'immagine riflessa che ci fa apparire affacciati alla finestra.

Più avanti altre suggestive visualizzazioni ci vengono proposte con l'ausilio di una camera oscura.

Percepiamo anche altre illusioni osservando dallo spioncino l'interno della camera di Ames, così chiamata dal nome dell'oftalmologo americano che la utilizzò per mostrare come il sistema percettivo umano possa essere tratto in inganno: il nostro cervello "riconosce" infatti sulla base di esperienze pregresse e influenze culturali. A prima vista ne ricaviamo una visione del tutto normale ma, non appena introduciamo dei pupazzi, ecco che questi si trasformano a volte in nani e a volte in giganti. A guardar bene poi, il pavimento della stanza, che sembra in piano, è... in salita, e una finestra si rivela essere una porta...

Per spiegare il fenomeno, alcune piramidi visive mostrano come, se ci limitiamo a guardare, cose uguali possano apparirci diverse e cose diverse possano sembrarci uguali. Ogni piramide ha un foro al vertice, attraverso il quale possiamo "spiare dentro". Alcune fessure sulle pareti permettono di inserire vari profili e quindi aiutano a capire come mai la camera di Ames induca questo tipo di visione.

Anche il gioco d'ombre proposto nell'installazione successiva, si basa sul principio della piramide visiva: alcuni simboli matematici illuminati da una sorgente di luce puntiforme proiettano un'ombra con la scritta "Trento".

Conclude la sezione il periscopio puntato sulle colonne del Duomo, già protagoniste della sezione Topologia.

Simmetria

L'ultima sezione si propone di mettere in luce la simmetria e la "rottura" di simmetria che possiamo osservare ad esempio negli edifici, nelle opere d'arte e nei prodotti dell'artigianato.

Con un primo esperimento possiamo suddividere i rosoni per tipologia e classificarli - ogni rosone al suo posto. Uno specchio ci permette di distinguere fra rosoni ciclici (girandola di rosoni) e rosoni diedrali (rosa di rosoni). Attraverso una fessura facciamo scivolare l'immagine del rosone sotto lo specchio e cerchiamo se c'è una posizione in cui l'immagine a metà, unita al suo riflesso, ricostruisce l'intero rosone...

Grazie all'oggetto rotante individuiamo un altro tipo di simmetria per la quale non occorrono gli specchi: facciamo ruotare, una rispetto all'altra, due copie della stessa figura e osserviamo come la figura torni su se stessa anche prima di aver fatto un giro completo.

Con lo specchio singolo o con due specchi ortogonali e alcuni modelli tridimensionali che rappresentano la metà o un quarto di un edificio trentino possiamo provare a ricostruire l'edificio intero - dalla parte all'intero - in forma identica, o piuttosto quasi identica, all'originale. Spesso infatti la simmetria è solo apparente, perché ci sono uno o più elementi che la rompono e che risultano ben evidenti se si confrontano le immagini dal vero. Accostando allo specchio "la metà" del Duomo di Trento, ad esempio, nell'immagine che si ricostruisce osserviamo un Duomo un po' strano: la cattedrale della nostra città in realtà non è simmetrica, ma nei progetti originari era prevista la costruzione di un secondo campanile che la avrebbe resa come è mostrata in questa postazione interattiva.

Troviamo poi un'altra esperienza di ricostruzione per riflessione di immagini nella scatola a base quadrata le cui pareti sono quattro specchi; inserendo un disegno nell'apposita fessura si può osservare il risultato: un pavimento che si estende… all'infinito.
Questo stesso schema di simmetria è rintracciabile in moltissime pavimentazioni, come ad esempio nelle decorazioni a pavimento della loggia del Romanino nel Castello del Buonconsiglio. Tuttavia, non tutte le decorazioni sono fatte così; il visitatore è invitato a riconoscere qual è l'intruso, cioè qual è il disegno che non si può ricostruire in un cubo con le pareti di specchio?

Le simmetrie fin qui incontrate sono di natura essenzialmente bidimensionale. Per arrivare ad una situazione tridimensionale - dal piano allo spazio - possiamo utilizzare tre specchi a due a due ortogonali e un ottavo dell'oggetto che vogliamo ricostruire (una botte, un cristallo).

Emozionante e divertente è entrare nella camera di specchi a forma triangolare, dove vivremo la singolare esperienza di ritrovarci immersi fra infinite copie di noi stessi.

Conclude questa sezione la parte dedicata ai fregi, disegni che si ripetono periodicamente in una sola direzione. Grandi pannelli illustrati propongono esempi di fregi che si possono raggruppare in sette diverse tipologie. Un'incisione su legno dei sette fregi, realizzata dall'Istituto Statale d'Arte "G. Soraperra" di Pozza di Fassa, arricchisce l'esposizione.

Uno dei sette schemi di simmetria è proprio quello che si può osservare nelle orme che lasciamo (per esempio sulla neve) quando camminiamo con passo regolare; anche gli altri schemi si possono ricondurre ad una serie di orme, ma è necessario saltare a piedi giunti, oppure saltellare su un piede solo, oppure compiere alcune mosse davvero acrobatiche.
A completamento del percorso espositivo, come approfondimento degli argomenti trattati in ogni sezione della mostra, numerose postazioni multimediali ci propongono esperimenti virtuali, raccolti nel CD-rom interattivo Matetrentino, percorsi matematici a Trento e dintorni edito da Kangourou Italia.

Nel regno di matelandia

una storia matematicamente divertente
Al primo piano del museo si trova lo spazio riservato all'infanzia nel regno di matelandia: un percorso espositivo che offre ai visitatori più piccoli, a partire dai 3 anni, un'occasione di gioco e divertimento alla scoperta della matematica. Un gioco di ruoli, ispirato al principio dell'interattività, stimola i bambini proponendo loro di vivere in prima persona una curiosa avventura.
L'esperienza diretta ed emotiva è lo stile di vita che caratterizza il Regno di MateLandia; i giochi e le ambientazioni presenti permettono di scoprire e imparare, in un contesto coinvolgente dal punto di vista emotivo, quanto del vissuto quotidiano è strettamente collegato alla matematica. I bambini diventano protagonisti di un'inedita fiaba che li accompagna lungo il percorso espositivo.

Entrando attraverso un simbolico ingresso a forma esagonale, i piccoli visitatori scoprono un paesaggio naturale che contiene riferimenti alle forme e alle simmetrie che si trovano in natura e nella vita quotidiana. Il percorso, suddiviso in tre stanze, permette ad ogni bambino di vivere esperienze diverse che vanno dal calarsi nei panni di un animale vivendo l'avventura di entrare nel favo delle api, ad assumere le sembianze di una forma geometrica vestendosi secondo "mode matematiche", fino ad interpretare un personaggio della famiglia reale ballando a passo di simmetria.

Nella stanza delle forme per primo si incontra il tema delle figure geometriche in natura, con particolare riferimento al mondo delle api.
In questo contesto i bambini imparano a classificare, conoscere e rappresentare le forme geometriche fondamentali. Lo scenario è costituito da un alveare a misura di bambino, in cui i piccoli esploratori possono entrare per visitare la "casa" delle api e conoscere il mondo delle forme. Indizi tattili e visivi suscitano alcune domande: che forma e che caratteristiche hanno le celle delle api? Cosa significa "osserviamo una figura piana"? Grazie ad alcuni curiosi giochi ad incastro, i bambini analizzano e confrontano forme e colori diversi. Nella zona successiva si trova la stanza delle tassellazioni o pavimentazioni, cioè la ricerca dei poligoni che riempiono il piano senza lacune e senza sovrapposizioni: un grande tappeto da costruire stimola l'ingegno dei più piccoli i quali sperimentano che anche i pavimenti rispondono a semplici regole matematiche e che, strano ma vero, la pavimentazione può essere un'attività divertente e stimolante. Un insieme di immagini e attrezzature accompagna i piccoli artigiani nel vivo dell'azione: è possibile tassellare con i cerchi? Che succede con i triangoli? E i quadrati? L'alveare è un esempio di tassellazione? Grazie ad alcuni effetti speciali il viaggio nel Regno di MateLandia prosegue con giochi che incentivano una nuova visione della matematica legata al divertimento e al piacere della scoperta.

La visita al regno di matelandia si chiude nella stanza dell'armonia dedicata alle regole della simmetria, con particolare riferimento a quella bilaterale. Un'inattesa festa da ballo in onore della Signora Simmetria anima la stanza e sposta l'attenzione sui personaggi della fiaba che, di volta in volta, vengono interpretati dai bambini. Un teatrino "simmetrico" stupisce e diverte anche i più diffidenti verso la matematica e le sue regole. L'obiettivo è quello di trasmettere un'idea intuitiva di simmetria attraverso alcuni stimoli sensoriali e di movimento.
A conclusione del percorso ad ogni bambino verrà consegnato un piccolo dono a ricordo dell'avventura vissuta.

Nel Regno di MateLandia è una sezione della mostra ideata dal Museo Tridentino di Scienze Naturali con la consulenza del professor Bruno D'Amore, docente di Didattica della Matematica all'Università di Bologna e Bolzano, e la collaborazione del Servizio Scuola dell'Infanzia della Provincia Autonoma di Trento.